Energía (V, magnetismo)

El magnetismo se refiere a las  propiedades de los imanes de ejercer una fuerza de atracción sobre, por ejemplo, partículas de hierro.

Estas propiedades se refieren a su vez al comportamiento de sus electrones ( los del imán), a la forma en cómo se mueven, como orientan su movimiento interno.

Pero los electrones, después de todo, son partículas cargadas en movimiento, de modo que el magnetismo va a venir finalmente referido a los campos de fuerza generados por cargas en movimiento. Y también, inversamente, al movimiento que estos campos de fuerza generan sobre las cargas.

El concepto principal en magnetismo es el de “campo magnético”, (B) similar al “campo eléctrico” estudiado en capítulo anterior.

Podemos investigarlo en función de sus causas o en función de sus efectos, no se cual sera más apropiado para comenzar… Pero, de momento, señalar que, como herramienta matemático-teorica, se utiliza el “campo vectorial”. O sea, cada punto x,y,z referido a un sistema de coordenadas “O”, lleva asociado un vector. O sea: un número escalar con dirección y sentido. A su vez, la dirección y sentido se pueden expresar como los tres ángulos correspondientes a los ejes X,Y,Z. Traducido al campo magnético, en cada punto x,y,z del campo tenemos asociado un vector. Lo que representa este vector no es evidente. Así como en el campo eléctrico el vector podía equipararse con la fuerza ejercida sobre la unidad de carga aquí es algo más complicado. En principio, dejémoslo en que se trata de una fuerza relacionada más directamente con la atracción de limaduras de hierro, o que su dirección y sentido se relaciona con la orientación de una aguja imantada en un punto…Y más indirectamente con la fuerza ejercida sobre una carga en movimiento. Digo indirectamente porque la flecha B↑ va a hacer un ángulo de 90° con la fuerza sobre la citada carga.

Por lo que se refiere a las causas, el campo magnético se genera, según se dice, cuando una carga se mueve con una velocidad V. Vamos a pensar que se trata de una velocidad V, y una trayectoria, respecto a un origen de coordenadas O. 

En cuanto a los efectos, el campo magnético lo que hace, según se dice, y como decía, es provocar una fuerza sobre una carga en movimiento..

Resumiendo, que tenemos una carga en movimiento que provoca un campo magnético que a su vez provoca una fuerza sobre una segunda carga en movimiento. Con lo cual podríamos ignorar el propio concepto de campo magnético diciendo que, de lo que se trata es que, una carga en movimiento provoca una fuerza sobre otra segunda carga en movimiento. O más exactamente: que dos cargas en movimiento se provocan mutua y respectivamente una fuerza. 

Pero volvamos al concepto de campo, tal y como lo plantea la literatura académica. Estoy siguiendo, por ejemplo, (https://www.fisicalab.com/apartado/campo-magnetico-creado-por-carga-puntual#contenidos)

 El campo provocado por una carga q, que se desplaza con velocidad V sería:

B =K*q*v*ur/r²  [1]

 B es el campo magnético en el punto P, situado a una distancia r de la carga según el vector ur↑. Se mide en Teslas.

K es una constante relacionada con el medio a través del cual se propaga la perturbación magnética.

q: la carga en movimiento

r: la distancia entre la carga y el punto en cuestión donde se pretende calcular el campo.

v: vector velocidad de la carga.

ur: vector unitario de posición del punto. Se refiere a la flechica que une el punto en el cual se sitúa la carga con el punto en el cual queremos calcular el campo.

El producto vectorial es otro vector perpendicular, cuyo módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo. El sentido según regla de la mano derecha o sacacorchos.

O sea, que el campo B viene a ser un vector de módulo: k*q*|v|*sen(v,r)/r²

Lo del seno se refiere a la componente perpendicular al movimiento. En la propia línea tangente al movimiento el campo sería 0, o sea, que el campo no afecta a la propia carga en movimiento.

La dirección del campo es perpendicular a v y ur, su sentido según la regla del sacacorchos, o de mano derecha.

Creo que sería conveniente hacer referencia a un origen de coordenadas respecto al cual se sitúa y se desplaza la carga antes de que nos liemos con los efectos del campo sobre una segunda carga.

Pongamos que sea O el origen,  ( x1,y1,z1) las coordenadas de la carga q en el instante t de su trayectoria. Y V↑ la velocidad. Y (x2,y2,z2) las coordenadas del punto en el cual vamos a valorar en campo.

Volviendo a los efectos, decíamos que el campo magnético genera una fuerza sobre una carga en movimiento.

F=q*V↑*B↑. [2]

Como antes, V y B son vectores, tenemos un producto vectorial que da como resultado otro vector perpendicular y de módulo calculado según el seno del ángulo. O sea, que la fuerza sobre la carga en movimiento es perpendicular al campo y al movimiento.

Vamos a poner la formula así:

F12=q2*v2*B12. Donde F12 es la fuerza sobre la carga q2 que se mueve a una velocidad v2 respecto a O. B12 sería el campo generado por q1 sobre x2,y2,z2, que es donde se encuentra la carga q2 en el instante t.

Algo no me queda muy claro, y a pesar de haber introducido el origen de coordenadas. Tanto para la causa, como para el efecto, del campo magnetico B nos aparece el vector velocidad. Pero, ¿velocidad respecto a qué? Lo primero que se le ocure a uno es que se trata de una velocidad respecto al campo magnético. Pero, ¿qué es exactamente el campo magnetico? ¿y, qué es, que sería un movimiento del campo?¿puede hablarse de desplazamiento, o de velocidad de desplazamiento del campo?. Todavía estamos intentando definirlo, así que decir que se trata de una velocidad respecto al campo es no decir mucho. Pongamos que se trate de una velocidad respecto al “sistema magnetico” o respecto a los elementos materiales generadores del campo, no sé. Imaginemos que el campo tiene su origen en un iman o un electroiman… La velocidad en cuestion de la carga sería relativa a estos elementos…

Pero, no, tampoco. Pues sea lo que sea que sea el campo B es un vector asociado a un punto del espacio, un valor numérico que varía de un punto a otro. De modo que cuando una carga se mueve con velocidad V respecto a un sistema magnético lo que hace es pasar de un punto con un valor del campo a otro con diferente valores. O dicho de otra manera: la carga se ve sometida a un campo magnético variable. Entonces, nos daría lo mismo si la variación se debe a que la carga se mueve respecto al campo, o el campo se mueve respecto a la carga. Igualmente, no debería importarnos si tanto la carga y los elementos físicos del campo permanecen fijos, si podemos obtener un campo variable a través de una corriente variable en el circuito eléctrico que provoca el campo. O dicho de otra manera, si una carga se mueve a lo largo de una linea cuyo campo sea constante la fuerza relacionada sería 0.

Así las cosas, para definir el campo magnético tendríamos que integrar causas y efectos en único párrafo. Tendremos que considerar dos cargas, q1y q2 que se mueven con una velocidad v1 y v2 respecto a un origen de coordenadas O.

Entonces, el movimiento diferencial de q1 en el instante t genera un incremento diferencial del campo en el punto donde se encuentra q2, por lo que experimentará una fuerza, según la formula anterior. Esta fuerza tenderá a dar una aceleración a la carga q2.

Pero la carga q2 también querrá hacer lo propio, generando un campo variable en el punto donde esta q1, y por ende, generando una fuerza sobre q1, y una aceleración que cambiará su vector velocidad.(a no ser que, por definición, y por simplificar el problema, digamos que q1 va bien canalizada, por un hilo conductor, for instance, y no puede variar su trayectoria)

Bueno, parecía que teníamos domesticado el asunto, pero se nos complicó un poquillo. 

A ver cómo nos queda.

” una carga q1, con velocidad v1, respecto a O ysituada en A(x1,y1,z1) genera una fuerza F sobre otra carga q2, con velocidad v2 en el punto B (x2,y2,z2))

Echamos mano de las formulas previas:

B=K*q*v*ur/r²  o sea el campo sobre B, donde se encuentra la segunda, carga generado por la primera: 

B=k*q1*v1*ur/r² 

donde r se calcula por las coordenadas respectivas de q1 y q2, módulo de AB: será √(x2-x1)² (y2-y1)² (z2-z1)² …

Luego tenemos:

F= q*v*B. Osea:

F=q2*v2*k*q1*v1*ur/r²

O sea: k*q1*q2*v1*v2*ur/r²

Uff, dejémoslo reposar mientras revisamos la literatura académica. Hay algo que no cuadra en el concepto… me temo que el lio está en la parte de los efectos. Lo relevante para la fuerza tiene que estar en la variación del campo y no en la velocidad de q, de echo, si la carga sigue por una línea de fuerza a lo largo de la cual B es constante, la fuerza va a ser 0. pero las formulas son bien claras, si v1=0, B=0; si v2=0 F=0… 🤔🤔🤔. 

Entonces, cuando q1 se mueve con velocidad v1 respecto a O lo que ocurre es que el campo en el punto A varía. Como cantaba la fórmula, B↑=k*q1*v1*ur/r², pero r y ur es función de V, y V es función del tiempo, t, de modo que el campo en el punto A varía en función del tiempo. Desarrollar la ecuación que nos describa el valor de B↑ en A en función de t quizá sea un poco tedioso, casi mejor esperamos a ver otros enfoques. Pero, en fin, tendríamos un campo variable en A que podría generar una fuerza en q2 situada en A, incluso aunque v2=0…

Pero, y es que se dice también que la fuerza aparece incluso dentro de un campo uniforme, o sea que la carga atraviesa una trayectoria donde el campo B no varía. Pero, entonces, ¿como “sabe” la carga que se está moviendo si el campo no varía? Aquí falta algo o no está muy claro. 

Campo creado por una corriente rectilínea

Cuando calculamos el campo creado por una corriente rectilínea en un punto A la cosa cambia, y quizá aquí radique la confusión. Porque el campo en el punto A generado por una carga que se mueve en línea recta es variable. Pero el campo generado sobre A por una corriente, también rectilínea, es constante.

A ver: el campo en A generado por una carga que se desplaza en línea recta depende de la distancia de la carga al punto A. Pero la distancia de la carga al punto varía con el tiempo a causa de su velocidad. Con lo cual el campo varía con el tiempo.

Sin embargo, la corriente rectilínea genera un campo fijo (siempre que la intensidad sea constante). Intuitivamente podemos considerar la corriente como una secuencia de cargas que se desplazan en fila una detrás de otra. Entonces, en un momento dado, el campo en A será la suma de los campos generados por cada carga, que podrá venir calculado por la fórmula de siempre,: B=k*q*v*ur/r²

En el instante ti la carga qi se encuentra a una distancia rii (*) del punto A, generando un campo Bii. En t(i+1) la carga qi estará a una distancia ri(i+1), generando un campo Bi(i+1)≠Bii.

Pero lo que ocurre es que en t(i+1) la carga q(i+1) ocupa el lugar que qi ocupaba en ti. Y su distancia al punto A , r(i+1)(i+1) es la misma que la de qi en el instante anterior ti. O sea rii=r(i+1)(i+1) y por tanto Bii=B(i+1)(i+1)

[ *.  Nota aclaratoria sobre los subíndices: tiempos y cargas llevan un subíndice simple: t1, t2 … ti… q1, q2…qi… Campos y distancias llevan dos subíndices, el primero se refiere al índice de la carga y el segundo al índice del instante (tiempo) Así “rii” es la distancia al punto A de la carga qi en el instante ti. Y r(i+1)(i+1) es la distancia de la carga i+1 en instante i+1 * ]

Eso ocurre para todas y cada una de las cargas, de manera que para cualquier par de cargas contiguas qi y q(i+1) el campo generado por qi en ti (Bii) equivale al generado por q(i+1) en t(i+1)

Y el sumatorio de todos los campos parciales generados por todas las cargas se mantiene constante a lo largo del tiempo.

Siendo constante el campo B en A, no ejercerá ninguna fuerza sobre una carga qA, situada en A… a no ser que se mueva… a través de una trayectoria… en la cual el campo B tomara valores diferentes para cada punto de la trayectoria…

Vamos a estudiar más despacio el campo asociado a una corriente rectilínea. Para ello vamos a plantear que, en lugar de cargas en fila una detrás de otra lo que tenemos son elementos diferenciales de carga, alineados también a lo largo del hilo conductor

I=dq/dt  dq=I/dt

En la fórmula [1]

B=K*q*v*ur/r²

Sustituimos q por dq

dB=K*dq*v*ur/r²

Pero V=dx/dt. Y V↑=V*ut↑ donde ut↑ es el vector unitario según la dirección de la corriente (tangente al hilo)

entonces:

K*dq*(dx/dt)*ut↑*ur↑ /r²

dq/dt=I nos queda dBi= k*I*ut*ur*dx/r² 

Que es el campo generado por un elemento diferencial de carga en un punto del conductor.

El campo total vendrá dado por la integral

B=k*I*§ut*ur*dx/r²

Bueno, no voy a desarrollar aquí, puede verse en la literatura, el resultado final es 

B=k*I*/R 

donde R es la distancia más corta desde el punto A, cuyo valor del campo se calcula, y el conductor rectilíneo.

 Bueno, aquí ya se van ordenado las cosas. Me queda la espinica sobre sobre la velocidad relativa del campo respecto a la carga, a ver si cojo un rato para deducirlo.

Fuerza de campo B sobre corriente en conductor rectilíneo. (F=I*L↑*B↑)

Vamos a intentar una aproximación similar al caso anterior.

La fuerza del campo sobre una carga en movimiento era: 

F↑=q*V↑*B↑

Como antes podemos suponer una fila de cargas dq sobre el conductor. dF=dq*V*B=dq*dx/dt*B=I*dx*B

F=§ I*B*dx, suponiendo B constante tendríamos 

F=I*L*B

Suponer el campo constante es mucho suponer. Es una situación cierta en muchos problemas electromagnéticos, pero, en general, según las fórmulas previas:

B↑= k*q1*v1*ur/r2. Para el campo creado por carga puntual en movimiento y,

B=k*I/R. Para el campo creado por conductor rectilíneo.

En el primer caso, el modulo del campo en A varía con la distancia entre q1 y A, y su sentido varía con ur↑

En el segundo caso el campo es el mismo para cada valor de R. O dicho de otra manera, para toda trayectoria paralela al conductor.

Acerca de Isar

Investigador de todo...
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