Maxwell (II, Matemática Maxweliana)

Las ecuaciones. Propagación de la onda electromagnética.Velocidad de la luz. Energia de la onda electromagnetica. Información y sistemas biológicos.


Ecuaciones de Maxwell

Entonces, continuando con el capítulo previo, vamos a ver en qué consiste la demostración de Maxwell. Hablando de perder el romanticismo espiritual… vamos a cambiar un poco el chip y poner nuestras neuronas en “modo matemático”

Lo primero que hizo fue recopilar todas las leyes y fórmulas relacionadas con los fenómenos eléctricos y magnéticos. Con anterioridad a Maxwell habían estado trabajando sobre el particular: Coulomb, Gauss, Ampere y Faraday.

  Según se cuenta, inicialmente, Maxwell recopiló 20 fórmulas, las cuales terminaron resumidas en cuatro. Interrelacionando estas cuatro fórmulas aparecen las ecuaciones definitivas sobre la propagación de la onda electromagnetica.

Las cuatro fórmulas clásicas son las de la figura. Pero aquí voy a hacer una trampica para no enfrentarme con algunas cuestiones de matemáticas vectoriales, siguiendo a Sears.

Entonces, vamos a dar un repaso al meollo del planteamiento Maxweliano:

1. La integral curvilínea del campo eléctrico a través de un contorno cerrado es igual a la derivada del flujo magnético respecto al tiempo con signo opuesto.

§E↑cos(ā) dl = – d(F)/dt

(El símbolo § lo usaré como símbolo de integral, sea o no cerrada)

E↑ es el vector campo eléctrico. La flechica suele ir sobre la E, apuntando hacia la derecha, pero de momento no sé cómo se pone, lo dejaré así.

“ā” es el ángulo “alfa”, de momento no tengo notaciones griegas, asi que lo dejaremos como “ā”. Ángulo formado entre  el vector campo y el elemento diferencial de la curva cerrada.

“dl” es el elemento diferencial de la curva cerrada a lo largo de la cual queremos calcular la integral curvilínea. 

La integral curvilínea: o sea, cogemos una imaginaria curva cerrada en el espacio, dentro de un campo eléctrico. La curva la dividimos en elementos diferenciales, unidades longitudinales de la susodicha curva. En general el campo E↑ puede ser, o bien constante, o variable en función del tiempo, o variable en función del espacio (en función de las coordenadas espaciales (x,y,z). En cualquier caso, para cada punto de la curva, para cada elemento diferencial de la curva, tenemos que el campo B↑ forma un ángulo ā con la tangente a la curva en ese punto. El producto de E↑*cos(ā)  se refiere a la componente del campo paralelo a la tangente. Cos(0)=1, si el campo es paralelo a la tangente el producto es máximo. Cos(90)=0, si el campo es perpendicular a la tangente el producto es nulo. Cos(180)=-1, cuando la tangente gira más allá de los 90°, se invierte el signo.

Entonces, volvamos a la integral, que es el sumatorio de cada diferencial curvilíneo por su correspondiente vector campo eléctrico E↑. Es fácil intuir que para un campo constante el sumatorio, la integral, es cero, a causa de que según va girando la tangente el coseno se vuelve negativo, y las partes negativas se anulan con las positivas.

Pero ¿cual es el significado físico de esta integral? Bueno, creo que hay que cogerlo en el sentido de que, por ejemplo, la curva cerrada sea un hilo conductor en el seno de un campo eléctrico. En el conductor tenemos cargas libres, o sea, electrones, y el campo E↑ sabemos que es la fuerza por unidad de carga, de carga libre en el conductor. Si tuviésemos una curva abierta, media circunferencia por ejemplo, el campo eléctrico ejercería una fuerza sobre las cargas que provocaría una diferencia de potencial en los extremos del conductor semicircular. Provocaría una fuerza electromotriz, o sea, literalmente, una fuerza capaz de poner en movimiento los electrones. Si cerramos el circuito con la media circunferencia restante (hilo conductor semicircular, se entiende) en principio podría pensarse que, puesto que hay una diferencia de potencial, se establecería una corriente eléctrica. Pero no. No, porque en el nuevo conductor semicircular ocurriría lo mismo que en el primero, pero con signo inverso. El nuevo conductor también va insertado en el campo E↑ que también ejerce una fuerza sobre las cargas libres pero en sentido inverso al sentido de la hipotética corriente. Es decir, que tendería a generar una corriente en sentido inverso. Y entonces, como decíamos, la integral curvilínea sería 0 para campos eléctricos constantes.

Bueno, ahora toca mirar a la parte derecha de la ecuación. A la derivada del flujo magnetico respecto al tiempo, signo invertido,  – d(F)/dt

El flujo se representa también por “fi”, una letra griega que no tengo a mano, esa de una I con una o en medio, lo dejaremos como F.

Bien, sabemos que el flujo es una integral de superficie, sumatorio del vector campo magnético B↑ por cada elemento diferencial de superficie. Y sabemos también que, cuando el flujo magnético que atraviesa la superficie de un conductor cerrado (espira, por ejemplo) varía en el tiempo, induce una corriente. Una corriente que induce a su vez otro campo magnético que se opone al primero (de ahí el cambio de signo). Pero aquí, en realidad no vamos a tener un hilo conductor con cargas libres.

En general, lo que tenemos es que el campo magnético variable a través de una superficie provoca un campo eléctrico cuya integral curvilínea sobre una curva cerrada no va a ser nula. Lo cual, entre otras cosas nos indica que el susodicho campo no es constante, o sea, que varía en el tiempo.

Si nos situamos en un esquema gráfico podemos visualizar la curva cerrada sobre un plano, el campo magnético perpendicular al plano, con sus líneas de fuerza atravesando el área encerrada dentro de la curva. En cuanto al campo eléctrico, sería perpendicular al campo magnético, sobre el plano de la superficie.

2. La integral curvilínea del campo magnético a lo largo de un contorno cerrado es igual a la intensidad que atraviesa el contorno dividido por “mu”.

§B↑*cos(a)*dl  =  I*mu

(mu es una constante referida al medio, se designa con la letra grieta mu, valor en el vacío: mu0=4π*10^(-7)

Bueno, esto es la ley de Ampere. Se refiere al campo magnético creado por una corriente sobre un hilo conductor. Cómo sabemos, la susodicha corriente genera un campo magnético cuyas líneas de fuerza envuelven al conductor. Suponemos una superficie definida por una curva cerrada perpendicular al hilo conductor. El campo en cada punto es perpendicular al radio que une el conductor con dicho punto, siempre sobre el mismo plano definido por la curva cerrada y perpendicular al conductor. Entonces, la integral curvilínea del campo se refiere al sumatorio de cada elemento diferencial de curva multiplicado por la componente del campo perpendicular al radio ( o paralela a la tangente, si se prefiere) 

¿su sentido físico?  Ufff, empiezo a perderme…  Vamos a ver, si la curva cerrada es una circunferencia con centro en el conductor (o sea, el conductor atraviesa la circunferencia perpendicularmente por su centro) entonces el campo es constante para cada punto de la circunferencia. Constante en módulo, aunque vaya cambiando el sentido. Y el coseno también es constante e igual a 1. Y la integral curvilínea cerrada de una circunferencia es su longitud, o sea, 2πr. O sea, B*2πr=I*m, –> B=I*m/2πr o sea, que calculamos el campo B conociendo la intensidad. Fórmula que ya nos daba la ley de Biot-Sabart 🤔🤔🤔

3. Corriente de desplazamiento: se dice que en una región del espacio donde hay un campo eléctrico variable “existe” una corriente de desplazamiento. Pero, ¿existe realmente esa corriente? Pues parece ser que no, que se trata de una corriente que en realidad no existe 🤔🤔, no existe en el sentido de que no se corresponde con un flujo de cargas eléctricas. Parece ser que se trata de una especie de “corriente virtual” que pretende encajar con un campo magnético variable, ya no sé si deberíamos hablar de una hipotética corriente que generaría el campo magnético, o una hipotética corriente que “debería ser inducida. Así que, prescindiendo del escurridizo concepto, podríamos decir con propiedad que donde hay un campo eléctrico variable hay un campo magnético variable.

La corriente de desplazamiento es i=J*A, donde A es el área considerada y J la densidad de la corriente (corriente por unidad de área). Pero J=€*dE/dt, y entonces: i=€*A*dE/dt

(€ es una constante asociada al medio, se representa por la griega épsilon, pero con el euro creo que cuela. Valor en vacío: €0= (1/4π)*8’98*10^9 )

Si, como decía antes, desistimos por un momento de entender el significado de una corriente no-existente, podemos retomar la ecuación anterior:

Ahora no tenemos ninguna corriente real circulando por un conductor físico. Nos encontramos en el vacío. I=0. Pero vamos a hacer uso de la no-existente  corriente de desplazamiento que vamos a colocar al lado derecho de la ecuación. Entonces nos queda:

§B↑*cos(ā)*dl=mu*€*A*dE/dt

Expresión que podemos comparar con la primera:

§E↑*cos(ā)*dl=-A*dB↑/dt donde se ha sustituido F por su equivalente F=A*B↑

Propagación de la onda electromagnetica

Bueno, ya tenemos, más o menos las ecuaciones básicas de la onda electromagnetica. Ahora a ver si somos capaces de deducir las ecuaciones de propagación y su relación con el movimiento ondulatorio. Pero, y también, entender intuitivamente en qué consiste la propagación de la onda.

 Vamos a ver. Supongamos una radiación que viaja a lo largo del eje X. Supongamos que el rayo electromagnetico ha sido emitido en el instante t=0. Supongamos que sigue un modelo senoidal. La onda irá asociada a unas constantes:

Velocidad de propagación de la onda: Ya sabemos que es c, 300.000 kmts/seg para todas las ondas electromagnéticas. Intentaremos demostrarlo, tal y como hizo Maxwell.

Valor máximo y mínimo de los campos E y B: Sabemos, como en toda oscilación senoidal, que el valor de E y B en cualquier punto asociado a la onda va a ir variando, oscilando, entre un valor máximo y otro mínimo (el mínimo es el máximo cambiado de signo). Van en fase, ambos alcanzan el punto mínimo, máximo y nulo en los mismos instantes.

La razón E/B es también una constante para todas las ondas. A ver si llegamos a calcularlo. Pero en cada caso particular, B y E pueden tomar sus valores particulares.

La frecuencia puede ser también constante para cada onda particular, su inversa, el periodo, y la longitud de onda (velocidad/frecuencia) 

Entonces, si nos fijamos en un punto xi situado en eje X a lo largo del cual se desplaza el rayo, tendremos una oscilación de los valores de B y E en el susodicho punto entre sus valores máximos y mínimos con una determinada frecuencia. Podemos representarlo gráficamente con una curva senoidal: en abcisas el tiempo, en ordenadas el campo.

Pero esta curva no nos da una idea del avance de la onda a lo largo el eje X. Se trata solo de la oscilación en un punto. Podemos intentar otra representación, una “fotografía” en el instante ti que muestre el valor del campo para cada valor de x.

 O sea, que, entonces,  la ecuación de la onda debe darnos para cada punto xi, e instante ti, el valor instantáneo de B y E, llamémosle Bi y Ei. Dicho de otro modo, el campo, los dos campos, varían por un lado respecto al tiempo para un valor fijo de x. Y por otro lado, varían respecto a su posición x para un instante dado.

A ver cómo lo planteamos.

Volvamos a nuestro eje X sobre el que teníamos oscilando a los campos eléctrico y magnético.Vamos a considerar un rectángulo formado por los puntos OABC sobre el plano XZ, donde 

O: origen de coordenadas

A: sobre el eje Z, a una distancia ∆z de O coordenada (0,0,∆z)

C: sobre el eje X, a una distancia ∆x de O, coordenada (∆x,0,0)

B: sobre el plano XZ, coordenada (∆x,0,∆z)

El campo eléctrico E será perpendicular a este rectángulo. El magnético B será paralelo. Podemos calcular la integral curvilínea de B a lo largo del rectángulo. O mejor vamos a trabajar con la excitación magnética H (H↑=B↑/mu)

 Lado por lado:

AB: la integral es cero por ser perpendicular

CO: lo mismo.

OA: pongamos que H=H0 para X=0. El ángulo es 0, el coseno 1, la integral será H0*longitud(OA)= H0*∆Z

BC: aquí tendremos que Hc=H0+∆H. Pero ∆H=dh/dx * ∆x, o sea Hc=H0+(dh/dx)*∆x

El ángulo es 180° , coseno -1, la integral. Quedará: -Hc*longitud(BC)= -(H0+(dh/dx)*∆x)*∆z

La integral curvilínea total quedaría la suma del recorrido por Oa más el recorrido por BC

§H *cos ā dl= H0*∆z – (H0+ (dH/dx) *∆x)*∆z

=H0*∆z-H0*∆z-(dH/dx *∆x*∆z)= -dH/dx *A (donde A es el área del rectángulo ∆x*∆z)

Más arriba habíamos obtenido que:

§B cos(ā) dl= mu*€*A*dE/dt

Osea, §H cos(ā) dl= €*A*dE/dt

Entonces:

-dH/dx *A= €*A* dE/dt –>

dH/dx=-€*dE/dt 

Que nos relaciona la variación del campo eléctrico respecto al tiempo con la variación del campo magnético respecto  a x, que es la línea de avance de la onda.

Siguiendo un razonamiento idéntico, podríamos trazar un contorno rectangular OEDC, ahora sobre el plano XY y calcular la integral curvilínea de, ahora, el campo eléctrico E a lo largo del citado contorno. Los cálculos son similares y el resultado final queda:

dE/dx=-mu*dH/dt

Que nos relaciona la variación del campo magnético respecto al tiempo con la variación del campo eléctrico respecto a x.

Pero sigamos jugando con las ecuaciones:

dH/dx=-€*dE/dt

dE/dx=-mu*dH/dt

–> derivando la primera expresión respecto a x y la segunda respecto a t: –>

d²H/dx²=-€*d/dx (dE/dt)=-€*d/dt(dE/dx)

d/dt(dE/dx)=-mu*d²H/dt²

d²H/dx²=mu*€*(d²H/dt²)

d²H/dt²=d²H/dx² * 1/(€*mu)

Similarmente, si derivamos la primera respecto a t y la segunda respecto a x, obtendremos:

d²E/dt²= d²E/dx² * 1/(€*mu)

Estas dos últimas expresiones tienen la misma forma que las ecuaciones diferenciales asociadas al movimiento ondulatorio transversal, mecánico, en una cuerda:

d²Y/dt²=d²Y/dx² * (T/mu)

Las variables x y t tienen el mismo sentido en todos los casos, o sea: t el tiempo, x el eje de desplazamiento de la onda. 

La variable Y en la onda mecánica se refiere al desplazamiento vertical oscilante de la cuerda. Las variables E y H se refieren a los campos eléctricos y magnéticos, también oscilantes en cada punto xi del eje X.

Pero, lo más importante: T/mu es una constante, y es el cuadrado de la velocidad de propagación de la onda a lo largo del eje X. Por consiguiente, en el caso de la onda electromagnetica, su valor de propagación sera: √(1/mu*€).

Para el vacío tendremos:

Mu0= 4π*10^(-7) 

€0=1/4π*8’98742*(10^9)

√mu0*€0, que, es, redondeando, 300.000 kmts/seg,

🤒🤒🤒😵😵


Relación entre las amplitudes del campo eléctrico y campo magnético.


Supongamos que los campos siguen un modelo senoidal

E=Emax*sen2πf(t-x/v)

B=Bmax*sen2πf(t-x/v)

Y retomemos la ecuación:

dH/dx=-€*dE/dt

Podemos derivar la primera  ecuación, senoidal de E, respecto a t y la segunda, senoidal de H, respecto a x. Y sustituirlas en la última.

Bueno, desarrollando el sistema de las tres ecuaciones, y sabiendo que la velocidad V=√1/(mu*€)

Nos queda que:

Hmax/Emax=√€/√mu

En el vacío:

€0=1/4π*8’98742*(10^9)

Mu0= 4π*(10^-7)


Energía y potencia de la radiación electromagnética

La potencia instantánea por unidad de superficie transportada por una onda electromagnetica es S=H*E. No voy a seguir la demostración, creo que por hoy ya vale.

Pueden considerarse como vectores S↑=E↑*H↑, producto vectorial, S↑ sería un vector en la dirección de propagacion, o sea, perpendicular a E y H

La Energía es la potencia por el tiempo, o sea S*t, o sea, la energía que atraviesa una unidad de superficie en un intervalo t.

Una energía, recordemos, que se transmite por el vacío, desde un sistema emisor, a un receptor a velocidad c.

Información en la onda electromagnetica

No voy a entrar en profundidad, solo señalar que la onda electromagnética transmite, no solo Energía, también información. Una información que cabalga sobre los parámetros que componen la onda, a saber: la amplitud y la frecuencia de la onda. Adecuadamente codificada, la onda electromagnetica transmite información de tipo analógico o digital, como es el caso de la radio, televisión o internet. 

Lo peculiar de la información es que pone en interrelación al sujeto con el objeto, una interrelación que interesa ir investigando, aunque de momento no estoy seguro cómo. Digamos que, la información incorporada a un Sistema-Objeto, sólo cobra sentido en la medida en que un Sujeto, o sistema-sujeto,  o un sistema biológico, toma conciencia de la misma a través del proceso de percepción.  Una placa de hierro se calienta bajo el efecto de la energía de la radiación solar, incluso puede llegar a dilatarse, bajo los efectos directos de esta energía. Pero una planta percibe información de la existencia de la luz y toma la decisión de orientar sus hojas hacia ella. Igualmente un animal percibe estímulos, percibe información como algo esencialmente diferente a la energía. La información cabalga sobre un soporte energético; y la reacción, o decisión, del sistema biológico utiliza igualmente sus recursos energéticos. Pero no es la energía que actúa como soporte de la información la que se convierte en la energía necesaria para ejecutar la reacción-decisión (como era el caso de la placa de hierro). Hay una transferencia a otro nivel, de Algo que no es Energía que, por el momento, digamos que es “Información”.

Pero, en fin, lo dejaremos así pendiente, ya llegará la momento de desarrollarlo.

LITERATURA

Bueno no se si la exposición de la matemática Maxweliana ha sido muy didáctica, en la web hay montones de presentaciones, quizá más detalladas y amenas.

  Mi principal objetivo era revisar asignaturas pendientes, invocar energías con modulación vibratoria científica 😉  para el blog y sobre todo purgar un revoltoso karma (lo cual espero haber conseguido con creces 😀, ¡ y con el teclado del móvil! )

Sears, Electricidad y magnetismo

https://youtu.be/y07Ek9kuDfY
Maxwell, 

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Radiación_electromagnética


Pedro Gómez-Esteban González,  las ecuaciones de Maxwell


Acerca de Isar

Investigador de todo...
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