Einstein (V, relatividad de tiempo y espacio)

Vamos con el segundo capitulo de la “Electrodinámica”. 

Comienza con dos reflexiones: 

La primera no sé si entiendo muy bien, habla de diferentes sistemas de coordenadas (como en nuestro caso, la nave que se desplaza respecto a la tierra. La nave un sistema de coordenadas la tierra otro)

La segunda sobre la naturaleza constante de la velocidad de la luz. La fórmula clásica de velocidad= espacio/tiempo:

Cualquier rayo de luz se propaga en un sistema de coordenadas en reposo” con cierta velocidad V, independientemente de si este rayo de luz
ha sido emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento. En este caso
velocidad =trayectoria de la luz/intervalo de tiempo”.

Esto parece que está claro. La luz recorre un espacio en un tiempo al ir de A a B. El reloj-emisor A marca tA a la salida. El reloj-sensor B marca tB al llegar a B. Pero, claro, para calcular el intervalo de tiempo tB-tA deberíamos:

  • o bien tener el reloj de B sincronizado con A
  • o bien, como venimos haciendo repetidamente, reflejamos el rayo saliente de A en B de nuevo hacia A, y medimos en A el tiempo de retorno del rayo  t’A 

Pero sincronizar  los relojes B y A, como dice la primera opción, implica realizar el mismo procedimiento que el señalado en la segunda opción; es decir, emitir un rayo desde A, registrar su llegada a B, donde es reflejado, y registrar su vuelta a A.

Con lo cual, de un modo u otro, siempre medimos la trayectoria de ida y vuelta del rayo. Y calculamos c dividiendo la trayectoria de ida y vuelta entre el tiempo de ida y vuelta. Y calculamos tB-tA como la mitad del tiempo de ida y vuelta. Pero, claro, siempre suponiendo que la velocidad es constante en todas direcciones, y que el sistema AB permanece inmóvil.

Resulta un tanto ilusorio pretender calcular c como L(AB)/tB-tA, porque tB lo hemos calculado previamente en función de c y de tA.

tB – tA = t’A – tB –> 2tB=t’A+tA–> tB=(t’A+tA)/2

Si quisiéramos calcular c como L(AB)/(tB-tA) tendríamos que: tB-tA=((t’A+tA)/2)-tA

=(t’A+tA-2tA)/2=(t’A-tA)/2

O sea, L(AB)/(tB-tA) = 2*L(AB)/(t’A-tA)  O sea, calculamos c según trayectoria de ida y vuelta: c=2*L(AB)/(t’A-tA)

No se, me resulta un poco turbia la exposición de Einstein, o quizá es que yo voy un poco despistado.

Pero, en fin, en general, si cogemos el eje de las abcisas, para cada punto xi tendremos un valor ti, donde ti es el tiempo que tarda la luz en llegar desde x=0 hasta xi

Podemos asignar arbitrariamente que en el origen de coordenadas O, x0=0 y t=t0. Entonces, para cada punto xi tenemos un tiempo ti.

A ver como calculamos ti en funcion de xi.

Retomando las equivalencias anteriores, ti equivale a tB (ida), xi equivale a L(AB), tA equivale a t0;  Y t’A es el tiempo en que la luz recorre la ida y vuelta (o la hora de vuelta, si se prefiere). O sea,

t’A=2*L(AB)/c + tA

Tenemos, tB=(t’A+tA)/2.  = (2L(AB)/c) + 2tA)/2 =L(AB)/c + tA

entonces, ti=xi/c + t0

Bueno, más o menos…

Por lo que se refiere a: “independientemente de si este rayo de luz ha sido emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento” parece que esá claro, igualmente. O casi. Al menos estamos considerando que sí, que la velocidad del rayo es independiente de la velocidad del emisor. Pero, cuidado, pues el emisor puede ser parte de un sistema móvil y la velocidad la podemos estar midiendo dentro de ese sistema móvil formado por emisor y receptor. Dicho de otro modo, la velocidad de la luz es independiente de la velocidad del emisor. Pero la medición de la velocidad de la luz sí depende, puede depender, de la velocidad del sistema medidor, del sistema emisor-reflector. Y dicho de otra forma: que una cosa es la velocidad de la luz y otra cosa es el valor​ que obtenemos en la medición.

Pero sigamos con Einstein:

“Consideremos una varilla rígida en reposo de longitud l, la cual se determina igualmente mediante una escala de medicion en reposo. Imaginémonos ahora el eje de la varilla situado sobre el eje X del sistema de coordenadas en reposo y supongamos que la varilla se traslada uniformemente (con velocidad v) y de forma paralela al eje X en la dirección de crecimiento de la coordenada x. Ahora nos preguntamos cual será la longitud de la varilla en movimiento, suponiendo que esta longitud se determina mediante las siguientes dos operaciones: a) El observador se desplaza junto con la escala mencionada anteriormente y la varilla bajo consideración y efectúa la medición​ de la longitud superponiendo directamente la escala sobre la varilla, justamente de la misma manera como si la varilla, la escala y el observador se encontraran en reposo. b) El observador determina los puntos del sistema en reposo en los cuales se encuentran los extremos de la varilla en determinado tiempo t, utilizando para ello relojes que no se mueven con respecto al sistema en reposo y han sido sincronizados de acuerdo al procedimiento del § 1. La distancia entre estos dos puntos, determinada mediante la escala en reposo que ya hemos utilizado en este caso, tambien es una longitud que se puede designar como la “longitud de la varilla”. De acuerdo al principio de la relatividad, la longitud a determinar en la operación a), que llamaremos “longitud de la varilla en el sistema en movimiento”, debe ser igual a la longitud l de la varilla en reposo. La longitud a especificar en la operación​ b), que llamaremos “longitud de la varilla (en movimiento) en el sistema en reposo”, seria determinada en base a nuestros dos principios y se demostrar´a que su valor es diferente de l.””



Bueno, el escenario que tenemos aquí es el de la nave espacial de nuestro capítulo precedente. La nave es ahora la varilla.

La operación “a” para medir la nave-varilla ya la habíamos contemplado en el capítulo previo. La nave iba a medir lo mismo en reposo o movimiento por la sencilla razón de que, si fuese cierto que la nave (o la varilla) encoge, la cinta métrica encogeria en igual proporción. Pero Einstein no es nada claro aquí, apela al “principio de la relatividad” que no se sabe muy bien cuál es, pero que ya vemos que la resolución es de Perogrullo.

La operación b es un poco más compleja, habrá que ir por partes.

1. El observador determina los puntos del sistema en reposo en los cuales se encuentran los extremos de la varilla en determinado tiempo t, utilizando para ello relojes que no se mueven con respecto al sistema en reposo y han sido sincronizados de acuerdo al procedimiento del § 1.

Algo de esto ya hicimos en el capítulo anterior. Recordemos: dos rayos láser emitidos desde tierra impactaban uno en reflector trasero, otro en delantero. Medimos los tiempos de retorno, t1 y t2, y calculamos la distancia x=c*t. Como el emisor está en tierra y lo suponemos fijo, x1=c*t1/2.  x2=c*t2/2. La distancia medida de la nave-varilla: L=x2-x1-v*(t2-t1)/2. Donde x2 es la distancia del reflector delantero en el momento del impacto del segundo rayo. x1, lo propio en relación con el impacto en el trasero. Y (t2-t1)*v/2es la distancia recorrida por la nave desde que el primer rayo impacta en el trasero hasta que el segundo impacta en el delantero. Aquí no hay nada raro ni es necesario introducir tantos relojes, nos vale con el reloj del emisor: t1 y t2 van referidos al mismo reloj-emisor. En cuanto a si L disminuye o no, en principio no veo nada que nos haga pensar que sí, salvo que la medicion experimental de t2 y t1 así nos lo muestre.

Pero, en fin, sigamos con Einstein:

Supongamos además que en los extremos (A y B) de la varilla se colocan
relojes sincronizados con los relojes del sistema en reposo, es decir, en un in-
stante dado sus indicaciones corresponden al tiempo del sistema en reposo”
en las posiciones donde resulte que se encuentren. Por lo tanto estos relojes
están sincronizados en el sistema en reposo”

A ver si nos entendemos, dos relojes en los extremos sincronizados con los relojes del sistema en reposo. Pero la sincronización se calculaba como ti=xi/c + t0. Es decir, el tiempo de cada punto se ajustaba en función de la distancia. Pero aquí tenemos un reloj móvil, cuya distancia varía en función del tiempo. Todo un problema. La sincronización se entendía antes con relación a relojes fijos y no a relojes moviles. Es una cuestión  que no hemos considerado antes y habrá que detenerse un poco en ésto.

Volvamos de nuevo: la sincronización la definió Einstein al hilo del concepto de simultaneidad. Si dos emisores/receptores están situados a una hora/luz de distancia, e intercambian una señal, tardará una hora en llegar de uno a otro.  El emisor E1 emite un mensaje electromagnético hacia E2 indicando la hora H1 en que el mensaje ha sido emitido, según el reloj de E1. E2 le responde indicando la hora en que el mensaje fue recibido, según el reloj de E2. Si los relojes están sincronizados se entiende que E2 debe recibir el mensaje a la hora H1+1. O sea, E2 recibe el mensaje que dice que fue emitido a la hora H1 (según el reloj de E1) y lo recibe a la hora H2 (según el reloj de E2). A continuación, o mejor dicho, en el mismo instante en que llega el mensaje, E2 contesta a E1 indicando que el mensaje fue recibido a la hora H2, según reloj de E2. La contestación llegará a E1 a la hora H1+2, siempre suponiendo que estamos en un sistema en reposo. La cuestión ahora es ver qué hora, o diferencia de hora deben marcar los relojes para entender que están sincronizados.

Supongamos un tiempo-reloj universal. primero actualizamos R1 (de E1) con la hora universal H. Enviamos el mensaje a E2, nos contesta (o refleja) y lo recibimos a H+2 (o sea, la hora de ida más la de vuelta). Calculamos la diferencia, de dos horas, así que inferimos que E2 está a una hora/luz. Finalmente le mandamos otro mensaje indicandole la hora que debe poner en su reloj para actualizarlo según el “tiempo universal”. Por ejemplo, se lo enviamos a la hora H1, con el mensaje de que debe actualizarse a la hora H1+1. De modo que así los relojes marcan la misma hora universal. Cuando se mandan mensajes a una hora H llegan a su destino a H+1.

Lo que planteaba einstein era que tb-ta=t’a-tb. Que es lo que hemos conseguido aquí.

Bueno, hasta ahora estamos repitiendo lo que ya dijimos antes. Pero, ¿qué pasa si el sistema AB, o el sistema E1E2, se mueve con velocidad v? ¿y si A se aleja de B con velocidad v?

Si el sistema AB se mueve con velocidad v, entonces la distancia entre a y b permanece constante. Pero tendríamos un problema con la sincronización.

O, al menos, habría que ajustarla de otro modo. Si la dirección del movimiento va de A hacia B, el reloj B se ajustaría sumando al de A el intervalo de tiempo: D/(c-v), siendo D la distancia entre a y B. Esto era, según decíamos, porque B se aleja del rayo procedente de A.

La respuesta, por su parte, llegará a A desde B en el tiempo D/c+v y esto era porque A se acerca hacia el rayo que viene reflejado desde B.

Las condiciones de sincronización cambian.

Sigamos con el texto:

Supongamos ademas que con cada reloj se mueve un observador y que estos observadores aplican a cada uno de los relojes el criterio establecido en §1 para la sincronizacion de dos relojes. En el instante de tiempo tA un rayo de luz parte de A, luego se refleja en el punto B en el momento tB y regresa al punto A al tiempo tA. Teniendo en cuenta el principio de constancia de la velocidad de la luz obtenemos:

 tB −tA = rAB/ V −v 

y t’A −tB = rAB/ V +v , 

 donde rAB representa la longitud de la varilla en movimiento, medida en el sistema en reposo.

¡Bueno!, toda una alegría ver que Einstein pone sobre la mesa el escenario de la luz que se refleja sobre una nave-varilla en movimiento. Y con las mismas fórmulas que venimos usando hasta ahora. Esto avanza. Ya me entraban dudas de si realmente esto era así o si la constancia de C se refería al tiempo de ida o vuelta. Pero, sí, o no, el propio Einstein lo reconoce: un rayo de ida y vuelta en una nave en movimiento se rige por las citadas fórmulas. (Casi creo que lo voy a guardar en marcadores, en negrilla, pues me suena que en otro sitio Einstein dice otra cosa.)

Pero, mi gozo en un pozo, la conclusión final me descoloca:
“Por lo tanto los observadores que se desplazan con la varilla determinarán que los relojes no están sincronizados, mientras que los observadores en el sistema en reposo los declararían como sincronizados.”

Ciertamente, los que viajan con la varilla determinarán que los relojes no están sincronizados… ¡pero porque el método de sincronización propuesto por Einstein es erróneo!, no tiene en cuenta el efecto del movimiento de los relojes. Y no necesariamente porque al tiempo le ocurra algo especial.

Y los observadores en reposo… a ver, como siempre, lanzan el rayo de ida y vuelta… La distancia recorrida por el rayo es mayor que la distancia que separa los puntos en cuestión. Pero, según el método propuesto por Einstein para sincronizar relojes:

tB-tA=t’A-tB donde:

tA: tiempo marcado por el reloj A, en A, en el momento de emitir el rayo.

tB: tiempo marcado por el reloj B, al recibir y reflejar el rayo.

t’A: tiempo marcado por el reloj A al recibir el rayo de vuelta.

Si situamos A y B en los extremos de la varilla móvil, ya hemos visto que la igualdad no se cumple.

Si situamos A en tierra y B en la nave la condición einsteniana se cumple, de churro diría yo. Porque, aunque la distancia recorrida por la luz es mayor que la distancia que inicialmente separaba los dos puntos, la distancia de ida es igual que la de vuelta, y los tiempos se igualan:

tB-tA=t’A-tB=D/(c-v)

Entonces, sí. Los relojes móviles que viajan en la varilla mantienen su sincronización einsteniana respecto a la tierra. O sea, cumplen la igualdad citada. Pero no la mantienen entre sí.

 

“De esta manera vemos que no podemos asignar un significado absoluto
al concepto de simultaneidad, y que dos eventos simultáneos desde el punto
de vista de un sistema de coordenadas ya no se pueden interpretar como
simultáneos desde un sistema de coordenadas que se mueve relativamente
con respecto al sistema en reposo”

Pero, no se si me estoy perdiendo. Porque, como decía, el problema puede estar en la definición de simultaneidad propuesta por einstein, y la forma de sincronizar relojes y/o comprobar que se encuentran sincronizados. La fórmula correcta para sincronizar relojes debería derivarse de las equivalencias que consideran la velocidad del sistema:

tB −tA = rAB/ (V −v )

y  t’A −tB = rAB/ (V +v) , 

 donde rAB representa la longitud de la varilla en movimiento, medida en el sistema en reposo. V la velocidad de la luz (c), y v la velocidad del sistema móvil.

Para v=0,

tB-tA=t’A-tB,  caso particular planteado por eEinstein.

Entonces no vendría a cuenta el comentario final.

En fin, que lo veo todo muy turbio. Supongo que habría que dar una nueva vuelta de tuerca al concepto de simultaneidad.

****

Uff, he estado un par de semanas volcado en asuntos mundanos y me he desconectado completamente. ¡Ni yo mismo entiendo lo que yo mismo escribí hace un par de semanas 😀😀!

Pero todo el desarrollo einsteniano me va dejando un poco desencantado, en el sentido literal del término. Todo eso de la relatividad del tiempo y del espacio sonaba como muy mágico y místico y… encantador… Pero, después de todo el repasico que voy dando… en fin, no me atrevo a afirmar categóricamente que todo sea un fraude, y menos ahora que estoy un poco desconectado. 

Pero no me está aportando las claves vibratorias que esperaba para comprender la naturaleza íntima del espacio-tiempo. Eso sí, conlleva un sano ejercicio de abstracción lógico-matematica, pero sin cruzar el umbral de la matemática clásica.

Bueno, llevo casi un mes sin publicar así que habrá que colgarlo. A ver si el próximo capítulo doy una nueva oportunidad a la relatividad… No me termino de creer que el emperador vaya desnudo de verdad.

 La verdad es que tengo ganas ya de pasar a otra cosa.

Acerca de Isar

Investigador de todo...
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